2019年成人高考高起点文数考试章节难点解析一

       集合思想及应用

　　集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用。本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用。

　　●难点磁场

　　（★★★★★）已知集合A={（x,y）|x2+mx-y+2=0},B={（x,y）|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠ ,求实数m的取值范围。

　　●案例探究

　　[例1]设A={（x,y）|y2-x-1=0},B={（x,y）|4x2+2x-2y+5=0},C={（x,y）|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得（A∪B）∩C= ，证明此结论。

　　命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题。属★★★★★级题目。

　　知识依托：解决此题的闪光点是将条件（A∪B）∩C= 转化为A∩C= 且B∩C= ，这样难度就降低了。

　　错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手。

　　技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值。

　　解：∵（A∪B）∩C= ，∴A∩C= 且B∩C= ∵ ∴k2x2+（2bk-1）x+b2-1=0

　　∵A∩C= ∴Δ1=（2bk-1）2-4k2（b2-1）<0

　　∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2-16>0,即b2>1 ①

　　∵ ∴4x2+（2-2k）x+（5+2b）=0

　　∵B∩C= ,∴Δ2=（1-k）2-4（5-2b）<0

　　∴k2-2k+8b-19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②

　　由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

　　∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得（A∪B）∩C= .

　　[例2]向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

　　命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。属★★★★级题目。

　　知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。

　　错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。

　　技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。

　　解：赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.

　　设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x.

　　依题意（30-x）+（33-x）+x+（ +1）=50,解得x=21.

　　所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。

　　●锦囊妙计

　　1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题。

　　2.注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A B,则有A= 或A≠ 两种可能，此时应分类讨论。